Hogyan állapítható meg, a periodicitás a függvény

Ha F (x) - a funkció az érvelés x, akkor az úgynevezett időszakos, ha van egy szám T, amely minden x F (x + T) = f (x). Ez a szám az úgynevezett T periódus és a funkció.

Időszak lehet több. Például az F = const minden értékére érv is ugyanezt az értéket, ezért bármennyi lehet tekinteni, mint a periódus.

Általában érdekelte a matematika legkisebb nem-zéró időszakban a funkciót. Ez az egyszerűség kedvéért, és csak az úgynevezett időszakban.

A klasszikus példa periodikus függvények - trigonometrikus szinusz, koszinusz és tangens. Idejük azonos, és egyenlő a 2π, azaz sin (x) = sin (x + 2π) = sin (x + 4π), és így tovább. De, persze, trigonometrikus függvények - nem csak időszakos.

Viszonylag egyszerű, alapvető funkciókat egyetlen módja, hogy rögzítik a periodicitás vagy nem periodicitás - számítás. De az összetett funkciók már néhány egyszerű szabályt.

Ha F (x) - a periodikus függvény T időszakban, és ez a származék, ez a származék f (x) = F „(x) - szintén periodikus függvény egy időszak T. mert az értéke a származék x pontban egyenlő a lejtőn a tangens a grafikus primitív ezen a ponton az abszcissza, és mivel a primitív periodikusan ismétlődő, ott meg kell ismételni, és a származékos. Például, egy függvény deriváltját sin (x) egyenlő cos (x), és ez az időszakos. Figyelembe származék cos (x), akkor kap egy -sin (x). A periodicitás tartjuk következetesen.

Azonban ennek a fordítottja nem mindig igaz. Így, az f (x) = const időszakos, és annak primitív F (x) = const * x + C - No.

Ha F (x) - a periodikus függvény T periódus, akkor G (x) = a * F (kx + b), ahol a, b, és K - állandók, és k értéke nem nulla - szintén periodikus függvény és annak idő megegyezik T / K. Például sin (2x) - a periodikus függvény, és annak idő megegyezik tc. Szemléletesen ez lehet a következő egyenlettel szaporodnak x bármilyen szám tetszik, hogy tömöríteni a menetrend vízszintesen működik pontosan annyiszor

Ha F1 (x) és F2 (x) - periodikus függvények egyenlő, és időszakuk T1, illetve T2, akkor az összeg az ezeket a funkciókat is periodikus. Azonban ő ideje nem egyszerűen a időszakok összege T1 és T2. Ha az eredmény elosztjuk a T1 / T2 - racionális szám, az összeget a periodikus függvények, és idő megegyezik a legkisebb közös többszörös (LCM) időszakok T1 és T2. Például, ha az időszak az első funkció az, 12, és a második időszakban - 15, az időszak az összegük egyenlő a NOC (12, 15) = 60.

Szemléletesen ez is képviselteti függvényében jön különböző „lépés szélesség”, de ha az arány a szélességük racionális, akkor előbb-utóbb (vagy inkább ez a lépéseket NOC), elkapnak fel újra, és az összeget kezdődik egy új időszak.

Azonban, ha az arány a időszakok irracionális, majd az aggregált függvény periodikus egyáltalán. Tegyük fel például, F1 (x) = x mod 2 (maradékával elosztjuk x 2) és F2 (x) = sin (x). Itt T1 egyenlő 2, és a T2 egyenlő 2π. időszakok egyenlő az arány a π - irracionális szám. Következésképpen, a függvény sin (x) + x mod 2 nem periodikus.