Hogyan lehet megtalálni a meghatározó egy 3x3-as mátrix 1

Meghatározói mátrixok gyakran használják a számításokban, lineáris algebra és analitikus geometria. Kívül a tudományos világ meghatározó mátrixok folyamatosan szüksége van a mérnökök és programozók, különösen azok, akik dolgoznak a számítógépes grafika. [1] Ha már tudja, hogyan kell megtalálni a meghatározója a mátrix 2x2, majd egy eszköz megtalálása meghatározója 3x3 akkor kell csak összeadás, kivonás és szorzás.

lépések szerkesztése

1. módszer a 2:
Keresés meghatározó szerkesztése

Vedd mátrix 3 x 3 Írunk a mátrix 3 x 3, amely M-mel jelölt, és megtalálja a meghatározó | M |. A következő általános formája a mátrix, amely azt fogja használni, és a mátrix példánk:

• M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) a_-A_-egy _ \\ a_-A_-egy _ \\ a_- a_-a_ \ end> ​​= 1-5-3 \\ \\ 2-4-7 4-6-2 \ end >>

Jelölje ki a sorban vagy oszlopban a mátrix. Ez a sor (vagy oszlop) támogatni fogja. Az eredmény ugyanaz lesz, nem számít, milyen vonalon vagy oszlop kiválasztása. Ebben a példában, vessünk az első sorban. Egy kicsit később, találsz néhány tippet, hogyan válasszuk ki a sort vagy oszlopot, hogy egyszerűsítse a számításokat.

• Válasszunk az első sorban az M mátrix ebben a példában. Kör május 1. 3. Az általános formája a kör a11 a12 a13.

Kihúz sor vagy az oszlop az első elemet. Lásd a hivatkozott sor (vagy oszlop referencia), és válassza ki az első elemet. Döntetlen egy vízszintes és egy függőleges vonalat ez az elem, ezáltal eltávolítottuk az oszlop és sor ezzel a elemet. Kell maradnia négy szám. Azt feltételezzük, hogy ezek az elemek az új mátrix mérete 2 x 2.

• Ebben a példában a referencia vonal május 1. 3. Az első elem találkozásánál az első oszlop és az első sorban. Húzza át a sor és oszlop, hogy elem, azaz az első ciklus, és az első oszlopban. Rögzítse a maradék elemek egy mátrixban 2 x 2.
• 1 5 3
• július 24
• 46 2

Keresse meg a meghatározója 2 x 2. Vegye figyelembe, hogy a meghatározó (a b c d) a-b \\ c-d \ end >> számítható ad - bc. [2] Ennek alapján lehet számítani az meghatározója a kapott mátrix 2 x 2, amely, ha lesz, lehet kijelölni X. Szorozzuk meg a két szám a mátrix X, vannak csatlakoztatva átlósan balról jobbra (azaz, az alábbiak szerint: \). Majd vonjuk ki a termék két másik szám az átlós jobbról balra (azaz a következők: /). Használja ezt a képletet a meghatározója a mátrix, akkor csak kapott.

• A példánkban a meghatározója a mátrix (4 7 6 2) 4-7 \\ 6-2 \ end >> = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
• Ez meghatározó hívják kis része, amit úgy döntött, az eredeti mátrix. [3] Más szóval, csak találtam Minor a11.

Szorozzuk meg a kapott válasz a kiválasztott elem a mátrix M. felidézni, amit eleme a referencia vonal (vagy oszlopban) használtunk, amikor törlik a többi eleme sor és oszlop, hogy egy új mátrixot. Szorozzuk meg ezt az elemet a kapott Minor (a meghatározója a 2x2 mátrix, amely jelöljük X).

• A példánkban választottuk az A11 elem. amely egyenlő volt 1. szorozza meg a -34 (a meghatározója a 2x2 mátrix), és kapunk 1 * -34 = -34.

Határozza meg a jel az eredményt. Ezután meg kell szorozzuk meg az eredményt 1 vagy -1, így kofaktor (kofaktor) a kiválasztott elem. Have kofaktor attól függ, hogy a 3x3-as mátrix költség elem. Ne feledje, ez az egyszerű rendszer jeleit tudni a jele egy építőeleme:

• + - +
• - + -
• + - +
• Ahogy dolgozott az elem a11. amelynek van egy + jel, akkor szorozzuk ezt az értéket, amelyet egy (azaz hagyd úgy, ahogy van). Kofaktor mi elem lesz egyenlő -34.
• Akkor is talál a jele az algebrai kiegészítője az (-1) i + j. ahol i és j - számát az oszlop és sor a kiválasztott elem, ill. [4]

Ismételjük meg a fenti eljárást a második tartóelem sorban (vagy oszlopban). Vissza az eredeti mátrix 3x3 és bár, amit bekarikázva elején a számításokat. Az összes lépés ismétlése ezzel az elemmel:

• Húzza át a sor és az oszlop az elemet. A példánkban meg kell választani az A12 elem (5). Mi törli az első sor (1 5 3) és egy második oszlopon (5 4 6) 5 4 \\ \\ 6 \ end >> mátrix.
• Rögzítse a maradék elemek formájában egy 2x2 mátrix. Ebben a példában, a mátrix lesz a forma (2 7 4 2) 2-7 \\ 4-2 \ end >>
• Keresse meghatározója az új 2x2 mátrix. Használja a fenti képlet ad - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
• Szorozzuk meg a kapott determinánsát kiválasztási 3x3 mátrix. -24 -120 * 5 =
• Ellenőrizze, hogy az eredmény szorozva -1 van szükség. Használata képletű (-1) ij. hogy meghatározza a jele az algebrai kívül. A12 a kiválasztott elem a táblázatban van megadva „-” jel, ugyanazt az eredményt kapjuk, és a képlet. Ez azt jelenti, meg kell változtatni a jel: (-1) * (- 120) = 120.

Ismételjük meg a harmadik elem. Ezután meg kell találni egy másik kofaktort az. Számold ki az utolsó tétel referencia vonalat vagy utalás oszlopot. A következőkben egy rövid leírás arról, hogy a számított építőeleme az a13 ebben a példában:

• Kereszt ki az első sor és a harmadik oszlop, így a mátrix (2 4 4 6) 2-4 \\ 4-6 \ end >>
• A determináns 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
• Szorozzuk meg az eredményt az elem A13. -4 * 3 = -12.
• A13 elem a jel + a fenti táblázatban, így a válasz -12.

Add fel az eredményeket. Ez az utolsó lépés. Mit kell hozzá elem származik cofactors referencia vonal (vagy referencia oszlop). Tedd őket, és kapsz az értéke a meghatározó a 3x3-as mátrix.

• A mi példánkban, a determináns értéke -34 + 120 + -12 = 74.

Jelölje referenciaként vonal (vagy oszlop) az az egyik, hogy több nulla. Ne feledje, hogy a referencia, akkor bármelyik sort vagy oszlopot. A választás a referencia sorban vagy oszlopban nem befolyásolja az eredményt. Ha úgy dönt, a sort a legnagyobb nullák száma, meg kell végezni kevesebb számításokat, hiszen akkor kell számítani a cofactors csak nem nulla elemek. Ennek okai:

• Tegyük fel, hogy úgy döntött, hogy a21 2 elemek. a22. és a23. Ahhoz, hogy megtalálja a meghatározó, akkor meg kell találni a meghatározó a három különböző mátrixok 2x2 dimenzió. Nevezzük őket az A21. A22. és A23.
• Ez egyenlő a meghatározója 3x3 a21 | A21 | - A22 | A22 | + A23 | A23 |.
• Ha mindkét elem a22 és a23 értéke 0, akkor a képlet lesz sokkal rövidebb a21 | A21 | - 0 * | A22 | + 0 * | A23 | = A21 | A21 | - 0 + 0 = a21 | A21 |. Ez csak kiszámításához szükséges kofaktor az elem.

A következő kívül sor, hogy egyszerűsítse a mátrixban. Ha csak egyetlen vonal, és adjunk hozzá egy másik, a meghatározója a mátrix nem változik. Ugyanez igaz az oszlopokat. Az ilyen intézkedések végezhetők többször, ráadásul akkor szaporodnak a konstans értékét string (hozzáadása előtt), annak érdekében, hogy minél több nullát lehetséges. Az ilyen intézkedések lehet menteni egy csomó időt.

• Például, van egy mátrix három sor (9 - 1 2 3 1 0 július 05-02) 9--1-2 \\ 3-1-0 \\ 7-5--2 \ end >>
• Ahhoz, hogy megszabaduljon a 9 helyszíni elem a11. mi tud szaporodni a második sor -3 és hozzá az eredményt az első. Az új első sor [-1 2 9] + [0 -3 -9] = [2 -4 0].
• Azaz, megkapjuk egy új mátrixot (0-4 2 3 1 0 július 05-02) 0--4-2 \\ 3-1-0 \\ 7-5--2 \ end >> Próbáld ugyanezt a oszlopok, hogy a helyszínen a12 nulla elemet.

Ne feledje, hogy kiszámításához meghatározója a háromszög mátrixok sokkal egyszerűbb. Meghatározója a háromszög alakú mátrixok kiszámítása a termék az elemek a fő átlós, az A11, a bal felső sarokban, hogy A33 a jobb alsó sarokban. Egy ilyen eset egy háromszög mátrix 3x3 dimenzió. Háromszögmátrix lehet a következő típusú, attól függően, hogy a helyét a nemnulla értéke: [5]

• A felső háromszög mátrix: Minden nem nulla elemek találhatók a fő diagonális és fölötte. Minden elem alatt a fő átló nulla.
• Alsó háromszög mátrix: Az összes nem-zéró elemek alatt találhatók a fő diagonális és rajta.
• Diagonális mátrix: Az összes nem-zéró elemek vannak elhelyezve a fő diagonális. Ez egy speciális esete a fenti mátrixok.