Komplex számok és műveletek rájuk - studopediya

Komplex számok és műveletek rájuk

Még a legegyszerűbb algebrai műveletek valós számok (négyzetgyök negatív szám, a megoldás a másodfokú egyenlet negatív diszkrimináns) kimeneten kívül a valós számok halmaza. Egy további általánosítása számfogalmat vezet komplex számok. A figyelemre méltó vonása a készlet komplex számot, hogy le van zárva tekintetében az alapvető matematikai műveleteket. Más szavakkal, az alapvető matematikai műveleteket komplex számok nem kerülnek eltávolításra a készlet komplex számot.

Komplex szám (algebrai formában) egy kifejezés

ahol - tetszőleges valós szám - imaginárius egység. állapota által meghatározott.

A szám az úgynevezett valós része egy komplex szám kijelölt (a latin „REALIS”), a számot nevezzük a képzetes része egy komplex szám, és jelöljük (a latin „imaginarius”).

És két komplex szám egyenlő akkor, ha azok a valós és képzetes része :. . Két komplex szám egyenlő nem egyenlő (a „több” és „kevésbé” nem szerepelnek a komplex számok).

Komplex-konjugátum az a szám. Úgy tűnik, a konjugált komplex számra egybeesik a számot. .

Aritmetikai műveletek. Összeadás, kivonás és szorzás a komplex számok által termelt az általános szabályok szerinti algebra.

Példa 1 határozza meg a komplex szám. .

Probléma 1. Legyen és - egy pár komplex konjugált számokat. Mutassuk meg, hogy azok összege egy valós szám, a különbség - képzetes szám, és a termék egy érvényes nem negatív szám.

Megjegyzés. Képzés szám is képviselteti magát egy asztal

A geometriai értelmezése komplex szám.

Tekintsük a derékszögű koordináta rendszerben. Ábrázoljuk mentén vízszintes tengelyen egy komplex szám. a függőleges tengely - a képzetes rész. Kapunk egy pont koordinátáit. Így minden komplex szám felel meg egy pontot a síkon. Fordítva, minden egyes pontja a gépet lehet társítani egy komplex szám. a valós rész megegyezik az abszcissza a pont, és a képzetes rész megegyezik az ordináta a pont. Így a komplex számok sík és pont az egyben megfelel. (Korábban beszéltünk egy-egy összefüggés a valós számok és pontok száma vonal).

A repülőgép, amely rámutat, képviseli a komplex számok az úgynevezett komplex síkon. Hogy megkülönböztessék a valós síkon a jobb felső sarokban a megírt levél. köröztek. A vízszintes tengelyen egy ilyen síkban az úgynevezett valós tengelye és függőleges tengelyen - a képzetes tengelynek. Komplex-konjugátum - a tükörképe egy előre meghatározott komplex szám tekintetében a valós tengelyére. A származási úgynevezett null pontot. A távolság a komplex számot a származási úgynevezett modulus azt a számot:

.

Modulusa a különbség a két komplex szám - közötti távolság megfelelő pontokat:

Minden pont a komplex síkban társult a vektort a származási nulla pont és a végén ezen a ponton. Nyilvánvaló, hogy ez a levelezés egy-egy. Ebben az értelmezésben a valós és képzetes része egy komplex szám - az első és a második vektor komponensek. Az összeg most úgy tűnik, egy átlós paralelogramma épített a vektorok és. érteni, mint a különbség. Modul komplex szám jelentése hossza a vektor. Geometriailag nyilvánvaló a háromszög-egyenlőtlenség a komplex síkon :.

7. példa Határozza meg a pontok helye a komplex síkban, amelyre

Határozat. a) A. mivel a kettős egyenlőtlenséget lehet átírni :. Kaptunk függőleges csík.

b) Mivel. mivel a kettős egyenlőtlenséget lehet átírni :. Kaptunk vízszintes csík. Feladatok c) és d) határoz a saját.

8. példa Jelölje meg a pontok helye a komplex síkban, amelyre a); b); c).

Határozat. a) A modul egy komplex szám - ez a vektor hosszát érkező a nulla pont és. azaz A távolság a származási arra a pontra. Ezért, ha egy síkban a pontok helye egyenlő távolságra eredete - egy kör (ebben az esetben a kör sugara 1). Meg tudja lefordítani a probléma derékszögű koordináta-language:

b) beszélünk a pontok helye, amelyek kívül esnek a körön (origó középpontú).

c) pontok vannak a gyűrű között, valamint a körök sugara.

9. példa Adj lókusz a komplex síkban, amelyre a); b); c).

Határozat. a) a különbség modul - a távolság egy pont és egy pont a komplex síkban 1. Ezért a pontok helye egyenlő távolságban (a távolság 1) a pont 1, - a körön 1 a központ a ponton (1; 0). A nyelv eredete:

b) A pontok egyszerre egy kört a középpontja a származási és a kör közepén eltolódott a lényeg. .

c) Ez a pont a jobb fele sík. fekvő körön belül. .

Trigonometrikus forma egy komplex szám. Az érvelés egy komplex szám hívott szöget. amely egy vektor pozitív irányában a valódi tengelynek. Ez a szög egyértelműen meghatározzák:

Amennyiben - a legfőbb értéke az az érv, hogy megjelent a egyenlőtlenségeket (vagyis a komplex síkban hajtjuk vágott a valós tengelyen balra eredetét).

Az első oszlopban megadott számot. feküdt a vélt vagy valós tengelye, és a második oszlop - a többi a komplex számok.

Jelöljük. Ettől. . van egy komplex szám is képviselteti magát a trigonometrikus alakban:

És két komplex szám. meghatározott trigonometrikus formájában

mert félreérthető az az érv egyenlő akkor és csak akkor. .

10. példa Keresse modulusokra és érvek, valamint a legfőbb értékei az érveket a komplex számok. Rögzítse mindegyik a trigonometrikus formában.

Határozat. Moduljai ezek a számok azonosak:

Minden szám az az érv, mivel a negyedév, ami a megfelelő pontot.

1) A pont abban rejlik az első negyedben, majd

A trigonometrikus formában. Úgy vesszük figyelembe - az alkalmazás gyakorisága szinusz és koszinusz.

2) az a pont abban rejlik, a második negyedben, eszközt

3) a lényeg abban rejlik, hogy a harmadik negyedben, az azt jelenti,

4) A lényeg abban rejlik, hogy a negyedik negyedévben, akkor

Szorzás és osztás komplex számok trigonometrikus formában. Hagyja, hogy a számok vannak rendelve, és a trigonometrikus formában :. . Szorozza őket:

Emlékezés a képlet a sinus és cosinus az összeg két szög, megkapjuk

Látjuk, hogy a szorzás a komplex számok szorzata a modulok és érvek adunk. A geometriai jelentése ez a művelet: és számok képviselő vektorok a komplex síkban, származó a nulla pont, azt látjuk, hogy a vektor a vektorokból származó „nyújtás” az idő és bekapcsolása egy sarkon.

Ahhoz, hogy a privát képlet:

11. példa meg a terméket, és hányadosa számok

Határozat. Képlet szerinti (1) felírható:

Mi ellenőrizze az eredményt megszorozzuk ezek a számok algebrai formában:

A képlet szerint (2) találunk

E művelet algebrai formában felírható:

Építése a komplex szám egy hatalom. Től képletű (1), hogy a hatványozást komplex szám szerint hajtjuk végre a szabály

12. példa Számítsuk 1); 2).

Határozat. 1) Megkaptuk a rekord egy komplex szám trigonometrikus formában :. A képlet szerint (3) található. Ugyanezt az eredményt kaptuk: A fenti példában a 4c) Newton binomiális.

2) Először is, képzeld el a számokat trigonometrikus formában.

Ez fekszik a negyedik negyedévben, akkor. ezért

Továbbra is használható (3) képlet:

Feltárása kocka a különbség, akkor ugyanazt az eredményt kapjuk (ellenőrizze!).

A (3) alakítjuk képletű Moivre:

A könnyű megszerezni a kapcsolat kifejező szinusz és koszinusz a több szögből és.

13. példa, hogy kifejezzék és keresztül, és.

Határozat. Elhelyezés képletben Moivre. kapjuk:

Balról, hogy felfedje az összeg a kocka, és gyűjtsük össze hasonló kifejezések:

Itt van, hogy. Azért jöttünk, hogy az egyenlőség két komplex szám algebrai formában

ami igaz akkor és csak akkor, ha a valós és képzetes része ezeket a számokat.

Egyenlet adja a valós részek;

egyenlővé a képzetes rész, megkapjuk.

Eltávolítása a gyökér a komplex szám. Ha a komplex számok, és kapcsolódnak. akkor. Képviseli számokat trigonometrikus alakban:

Azt feltételezzük, hogy van - a legfőbb értéke az érvet.

A mi feladatunk - a meghatározott számú (azaz ismert és) határozza meg (azaz mindkettő). Képlet szerinti (3) felírható egyenlet

A egyenlőség két komplex szám a trigonometrikus forma követi:

Itt - a gyökér-én fokú ingatlan nem-negatív szám. Ennélfogva, a gyökér a ed-fokú komplex szám megkapjuk az általános képletű

Feltételezve, hogy egymás után. Kapjuk különböző értékeket:

Mindezek gyökerek azonos modulokat. azaz megfelelő pontok találhatók a kör sugarát origó középpontú. Érvek két szomszédos gyökerek különböző szögben. Ezért minden érték a gyökér -edik fokú komplex számok a megfelelő -gon csúcsok írt kör sugara.

14. példa összes értéket a gyökér-ik fokú komplex szám, és képviselje őket a komplex síkon, ha

Határozat. 1) Először is, azt látjuk, a modul és az érvelés egy komplex szám. . (5) egyenlet feltételezi formájában

A pontok a csúcsai szabályos háromszög írt sugarú kör, egy gyökér - egy valós szám. Érvek két szomszédos pixel különböznek szögben. Megjegyezzük, hogy.

2) Ezen az oldalon. . ezért

,

A pontok a csúcsai szabályos háromszög beírt egy kört. gyökér egy valós szám. Megjegyezzük, hogy. Hasonlítsuk össze az eredményt pr.12.2 ahol megkapta. azaz .

3) Itt van. és

,

4) Itt és

. ami két szám:

Probléma 3. Végezze munkát pr.14, ha 1). 2).

15. példa gondoskodjon lineáris faktorok négyzet trinomiális

Határozat. 1) Vegye figyelembe a másodfokú egyenlet. A diszkriminancia. Tehát, nincs igazi gyökereit. Tól pr.14.4 ezt. A képlet szerint a gyökerek egy másodfokú egyenlet. Kaptunk két komplex konjugált gyökerek és. Összhangban a talált gyökerek tudjuk bővíteni a másodfokú trinomiális egyenes vonalú tényezők:

2) Tekintsük a másodfokú egyenlet. A diszkriminancia. nincs igazi gyökereit. Tól pr.14.4 ezt. A képlet szerint a gyökerek egy másodfokú egyenlet. Kaptunk két komplex konjugált gyökerek és. Összhangban a talált gyökerei másodfokú trinomiális felbontjuk egyenes vonalú tényezők:

Felhívjuk figyelmét, hogy a másodfokú egyenlet valós együtthatós egy pár komplex konjugált gyökereit.

Feladat 4. Ellenőrizze, hogy az alábbi bontás lineáris tényezőt

Az exponenciális forma egy komplex szám. Euler-képlet (bizonyítandó újabb):

Ez lehetővé teszi, hogy rögzítse egy komplex szám exponenciális formában:

Mivel az Euler képlet és - a frekvencia a szinusz és koszinusz következőképpen:

16. példa A számok írt exponenciális formában.

Könnyen érvényességének ellenőrzésére:

Összehasonlítás ez az arány a szorzás szabályai és elosztjuk a hatványozása komplex számok trigonometrikus formában.

17. példa: összehasonlítani és komplex számok.

Határozat. Tól pr.16 :. Vannak olyan számok, modulokat. Kiemelve az index a kifejezések száma, hajtsa. képviselt formájában. a szorzó. Ez azt jelenti.