A tulajdonságait a modul egy komplex szám
Összegezve az eredményeket fent meghatározott, megkapjuk a következő modul tulajdonságait:
1. êZ ê³ 0
2. z ÎR Þ êZ êEz egybeesik az abszolút értéke a valós szám
Az utóbbi tulajdonság igaz, mivel a számtani kifejezés a háromszög egyenlőtlenség rögzített vektorok Z1, Z2, z1 + z2.
1.11. Eltávolítása a gyökér egy komplex szám
Definíció. A gyökér a n-ed-fokú a komplex számok nevezzük komplex szám, n-edik hatványa egyenlő a radicand. . W n = z.
Így az egyenlőség:
De egyenlő számban komplex modulokat kell egyenlő, és érvek eltérhetnek csak többszöröse 2p azaz r n = r. ny = j + 2pk,
ahol a számtani értéke a gyökér és a K - bármilyen egész szám. Így jutunk:
azaz kivonat a gyökér egy komplex szám szükséges eltávolítani a gyökere a készülék, és az argumentum osztva a gyökér index.
A képletben (*) A k szám vehet mindenféle egész értékeket; de eltérő kiváltó értékek csak n, és meg fog felelni az értékeket:
Ennek bizonyítására, vegye figyelembe, hogy a jobb oldalon a képletben (*) különböző lesz két k különböző értékei esetén = k1 és k = k2, amikor érvek és nem különbözött szeres 2p, és azonos lesz, ha ezek különböző többszörös érvek 2P. De a különbség (k1 K2O) két szám a sorozat (**) abszolút értéke kisebb, mint n, és ezért a különbség nem lehet többszöröse 2P, azaz n k értékeket a sorozatból (**) értékeknek felel meg a n különböző gyökerek.
Most k2 - egy egész szám (pozitív vagy negatív) nem fekszik a száma (**). El tudjuk képzelni azt a formáját:
ahol q - egész szám, és K1 - tetszőleges számú sorozatban (**), és így
azaz értéke k2 felel meg ugyanazt az értéket a gyökér, és az értéke k1. arra a következtetésre jut a sorozat (**).
Így, a gyökér n-edik hatványa a komplex szám n különböző értékeket.
Kivétel ez alól a szabály egy speciális eset, amikor a radicand nulla, azaz r = 0. Ebben az esetben, az összes érték nulla gyökér felett.
1.12. Az exponenciális forma egy komplex szám
Mi általánosítani a koncepció az exponenciális függvény esetén bármely összetett szám. Az igazi kitevő funkció e x leírható, mint egy sorozat:
Határozza meg a ugyanazt közelében az exponenciális függvény esetén a tisztán képzeletbeli index, azaz a be:
Elválasztó valós és a képzetes értelemben van itt:
re emlékezve bomlás kényelmes és siny egy sorban, mi határozza meg:
Ami az (1), úgy tűnik, teljesen természetes. Ezzel szemben, a típusát (2) képletű nem okoz ezt az érzést. Lássuk, hogy ez lehetséges az azonos kifejezések és + bi elég ésszerű számú rendszer fenntartása a jogállamiság kívül (1), de (2) minden új törvény a szorzás. Úgy tűnhet, mint ez az új törvény? Nagy mértékben attól függ, hogy milyen tulajdonságokat szeretnénk, hogy egy új szorzás. Például, képtelenség lenne azt bevezetni által (a + bi) (c + di) = AC 2 + BDI. mert akkor, például, ha b = 0, d = 0, mi volna meglehetősen furcsa egyenlet ac = AC 2.
Nézzük rámutatnak az igények, hogy mi lesz, hogy egy új szorzás:
1) szorzás egy valós szám. tekinthető új tag számrendszer (a = a + 0i), egy tetszőleges szám Z = b + ci kell ugyanazt az eredményt adja, mint abban az esetben, a komplex számok, m. f
Különösen, ez azt jelenti, hogy a valós számok egy új szorzás egybe kell esnie a szokásos:
Mivel ugyanez igaz a hozzáadott (az (1), hogy (a + 0i) + (b + 0i) = (a + b) + 0i), ez a rendelet a valós számok szerepelnek az új számot rendszer természetes számtani.
2) Amennyiben az egyenlőség
ahol a és b - bármilyen valós szám. Például, (2i) (3i) = 6i 2.
3) Mivel az első faktor és a második kell elvégezni elosztó tulajdonság, hogy kapcsolódik szorzás hozzáadásával:
Természetesen ezek a követelések még nem teszi számunkra, hogy írjon egy új törvény vége előtt a szorzás, de mindegyik kell sokat. nevezetesen,
Most, hogy írjon az eredményt, csak akkor tudjuk mutatni, hogy mi van az i 2. Figyelembe i 2 = -1, érkezünk a szorzás a komplex számok. De ez - nem az egyetlen lehetőség. Elvileg azért, mert ez csak akkor szükséges, hogy a munka előttünk egyértelműen II rendszer a számok, azaz a. E. száma volt a forma p + qi. Azáltal p és q, végül állítsa be a fajta gyakorlat szorzás:
A tanulmányunk tárgyát képezi, ezért meghatároztuk. Most akkor felejtsd el a „szuggesztív” megfontolások alapján arra a (3) képlet, és csak azt mondják, hogy egy olyan rendszert a számok formájában a + bi jogának kívül (1) és a szorzás jog (3), ahol p és q - két fix valós számok (meghatározásakor, hogy úgy mondjam, „számtani” számok a rendszer).
Alapos mérlegelés után a (3) képlet, mi elég könnyű belátni, hogy egy új, a szorzás kommutatív tulajdonság:
- egy meglehetősen meglepő eredmény, figyelembe véve, hogy a követelések között benyújtott megsokszorozódása ilyen tulajdonságokkal nem volt! Végzünk, és az asszociatív tulajdonság ((z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)), bár az ellenőrző e tényről igényel kicsit türelemmel. van
eredményeinek összehasonlításával mindkét számítás könnyen azonosítani tudják magukat.
A csökkentés három rendszert. Úgy tűnhet, hogy találtunk egy számtalan rendszerek, mint a képletben (3) tartalmaz, két tetszőleges valós szám p és q. De ez nem igaz. Most látni fogjuk, hogy minden olyan rendszer, csökken a következő három dolgot:
I) száma a + bi. ahol i 2 = -1. (Komplex számok);
II) száma a + bi. ahol i = 1, 2 (úgynevezett dupla szám);
III) száma a + bi. 2, ahol i = 0 (az úgynevezett kettős számok).
Reduction bárki esetben e három a következő.
Egyenletből 2 i = p + qi következőképpen -Qi = 2 i p vagy: