Science Network trigonometriai
A távolság a komplex síkban a származás (a pont), hogy egy pontot az úgynevezett modulus komplex szám. Modul komplex szám jelölték érvényes egység számot. Az ilyen véletlen jelölést nem okoz zavart, mert a modul egy valós szám is egyenlő a távolság a megfelelő pont a valós tengelyen, hogy a pont. Ha, akkor nyilvánvaló, hogy (ábra. 112).
Probléma 2.1 Bizonyítsuk be, hogy minden komplex számok és az egyenlőtlenséget.
Most csatlakoztassa a pont-pont. Által bezárt szög vonalszakasz kapott valós tengelye (pontosabban, a pozitív irányú valós tengelye) nevezzük argumentum (ábra. 113 a). Ez a szög általában radiánban.
Ha az érv, akkor nyilvánvalóan
Felvétel egy komplex szám formájában, ahol a 0 $ „width =” 51 „height =” 35 „> nevezik trigonometrikus forma egy komplex szám. A trigonometrikus formában írhatunk bármely összetett szám, a nulla kivételével (nulla érv nem határozza meg).
Írunk, például formájában trigonometrikus számát. Nyilvánvaló, és ábra. 113 b, hogy egy érv lehet venni:
Azonban ugyanolyan sikerrel lehetett azt mondani, hogy ez az érv: mert az egyenlőség is igaz. Általában, az érv egy komplex szám nem egyedileg meghatározott, és legfeljebb a Ezenkívül, ha - egy egész szám. Tudunk olyan szám, amelynek érv számát.
Feladat 2.2 keresése érvek következő számokat, majd összerakható számokat trigonometrikus alakban: a); b); c); g); d); e).
Célkitűzés 2.3 Igazoljuk, hogy
Most tegyük fel, hogy adott komplex számok és. Hadd többszörösen:
(Régebben a képletét szinusz és koszinusz összeg).
Mint látható, ha megyünk a trigonometrikus alakban a szorzás a komplex számok írhatók egy egyszerű képlet:
Ha megszorozzuk a komplex számok szorzata a modulok és érvek adunk.
Mivel az osztály - cselekvési ellentétes a szorzást, akkor:
Ha elosztjuk komplex számok modulok vannak osztva, és érvek kivontuk.
Tehát adott a geometriai jelentését szorzás a komplex számok, úgy, mint a vektorok a síkon. Első pillantásra ez ellentétes azzal, amit az említett c. 4.0. ahol azt mondták, hogy geometriailag meghatározzák a szorzás vektorok a síkon lehetetlen. Képzeljük el azonban, hogy adott két vektor, és azt szeretnénk, hogy szaporodnak `` komplex számok „” - akkor kiderül, hogy annak érdekében, hogy meghatározzák az érveiket, először is meg kell egy tengely, amely a számláló érvek, és ha úgy döntünk, `` valós tengelye 'eltérő módon, akkor a termék meg fog változni!
Figyelembe véve a szorzás a komplex számok írt trigonometrikus formában, azt láttuk, hogy a szorzás a komplex számok szorzata a modulokat. Írunk az ingatlan komplex számok a képlet
Feladat 2.4 Igazoljuk képletű (3) alapján a meghatározása a szorzás a komplex számok.
Célkitűzés 2.5 a) Bizonyítsuk be, hogy; b) a kimeneti ez identitás általános képletű (3).
Formula (3) átírható, és használata nélkül komplex számok. Sőt, ha emeli, (3) a négyzet, megkapjuk a következő személyazonosító:
Természetesen ez az identitás könnyen ellenőrizhető közvetlenül.
Feladat 2.6 Igazoljuk, hogy a több
a négyzetének összege két egész szám.
Feladat 2.7 Igazoljuk, hogy a több
és a négyzetének összege két egész szám.
Van egy analóg az identitás (4) a összege négy négyzet, azt mutatja, hogy a termék a két összeget négy négyzet is összegével egyenlő négy négyzet:
Feladat 2.8 Igazoljuk ezt az identitást.
Van is egy analóg a két identitást összegek nyolc négyzet, de ez minden, és véget ér: az identitását `termékből két összeget négyzetek a négyzetének összege„”nem létezik.
Most lássuk, mi következik abból, hogy az érvek komplex számok összeadódnak megszorozva.
Ha építeni egy komplex számot a teljesítmény, azaz szorozzuk meg magát újra, hogy épít egy tápegység modul, és az argumentum szorozni:
Különösen, ha ez történik:
Általános képlet Moivre könnyen következtetni képletek kifejező és ezen keresztül, és. Ehhez a bal oldalára, hogy nyissa ki a zárójelek és az okozhat hasonló. Ha például ezt kapod:
Ahhoz, hogy az ilyen általános képletű egy tetszőleges, szükséges, hogy közölje a konzolok, és ez megköveteli a általános képletű a zárójelben nyilvánosságra a kifejezést. Írunk a képlet, de nem bizonyítják. Úgy néz ki, mint ez.
Más szóval, a jobb oldali együttható: a nevező a termék az első pozitív egész szám, a számláló és - a termék egymást követő egész szám csökkenő sorrendben kezdve. Bár a tényezők a formula írva, mint a frakció, sőt mindegyik - egész számok.
A képlet, melyek írtunk, az úgynevezett binomiális tétel.
Feladat 2.9 Ellenőrizzük a képlet a binomiális.
Probléma 2.10 a) Írja ki a képletet binomiális.
b) Sorolja fel a képletek és.
Feladat 2.11 Biztosítani kell, hogy a képlet binomiális együttható egyenlő.
Probléma 2.12 Igazoljuk, hogy képlet együtthatók Newton binomiális és egyenlő (ami nem meglepő: ha a bal oldalon a személyazonosságát nem változik, ha helyet cserélnek, és ugyanaz legyen a jobb oldalon).
Egyéb alkalmazási képletű Moivre - egy másik levezetése a képlet összege koszinuszok vagy szinuszok a szögek képező számtani sorozat (§4.5.). Sőt, akkor is, ha kell számolni az összeget
Tekintsük a komplex számok. Aztán nyilván. ezért
Azonban, a jobb oldali lehet kiszámítani a következő képlet segítségével az összege egy mértani:
(Ha zavarban, hogy ezt a képletet, hogy a komplex számok, meg az iskolai tankönyv, mivel bebizonyosodott, és győződjön meg róla, hogy a szó szoros értelmében az azonos bizonyítási is alkalmas komplex számok.)
Most van szükség, hogy egyszerűsítse a kifejezést a jobb oldalon (ez általában elosztjuk a komplex számok, szükséges, hogy szaporodnak a számláló és a nevező a frakciót és külön a valós és képzetes része a kapott kifejezést. A valós része megegyezik, és a képzetes rész egyenlő.
Feladat 2.13 végezze el ezeket a számításokat, és győződjön meg arról, hogy a válaszok egybeesnek kapott Sec. 4.5.
Időt a trigonometrikus forma egy komplex szám hatványát kényelmes, persze remélem, hogy ugyanaz a trigonometrikus formában, és segít elvégzésében a fordított műveletet - kitermelése gyökerek komplex számok. Meg fogjuk mutatni, példát, milyen új jelenségek fordulnak elő ugyanabban az időben.
Engedje ötödik gyökér 32, hogy van, megtalálják azt a számot, emelve, hogy az ötödik erő, ad valós számok 32. között egy szám egy - a 2-es szám Lássuk, mi történik, ha megvizsgálja a komplex számok. Keresünk olyan számok, hogy. A legegyszerűbb módja, hogy megtalálják a modul száma, ha, akkor (a szorzás a számok szorzata modulok), ahol az (I SO - egy normális valós szám, így nincs félreértés ne). Továbbra is találni egy érv. Erre írunk a trigonometrikus formában :. Ezután, ahonnan, amely viszont, egyenértékű rendszer trigonometrikus egyenlet
Ez a rendszer nyilvánvalóan eleget pontosan azok és csak azok a számok, amelyek száma megegyezik a referencia pontot a trigonometrikus kör, azaz vagy (tehát az egyenlet megoldása - ez a forma, ahol nem minden szám különböző: .. Mivel az komplex számok az érvek más, azonos, a különböző komplex számok csak akkor kapunk meg, majd értékeket meg kell ismételni úgy, minden gyökér, vagy ha úgy tetszik, a gyökerei az ötödik fokozat a 32 .:
Ők már nem. Ha képviseli az összes gyökerei az ötödik fokozat a 32 a komplex síkon, azt látjuk, hogy ezek találhatók a csúcsai egy szabályos ötszög.
A mi megfontolások nem játszottak szerepet az sem, hogy már eltávolították a gyökér fokú 5, sem az a tény, hogy már eltávolította a 32. Tény, hogy minden komplex szám, amelynek pontosan az a megoldás a (Ezeket a megoldásokat az úgynevezett gyökerei fok). Ha a kép a komplex síkon a mértékét a gyökerek találhatók a csúcsai szabályos -gon középpontú 0.
Feladat 2.14 Find: a) mind a három köbméter gyökere; b) mind a hat gyökerei 1 fok 6, és felhívni őket a komplex síkban.
Feladat 2.15 a) Bizonyítsuk be, hogy a termék a két gyökér 1 fok - ugyanolyan gyökér szintű 1.
* B) Legyen - minden fok a gyökerei 1 - egész szám. Bizonyítsuk be, hogy
Mi adjuk a szokásos valós számok számát annak érdekében, hogy képes legyen kivonat négyzetgyökvonás negatív számok; azt találták, hogy lehetséges, hogy megoldja minden másodfokú egyenlet komplex számok. Figyelemre méltó, hogy általában minden algebrai egyenletnek gyöke a komplex számok: nincs új számokat a túl ez a bemenet nem szükséges. Ez a fontos tényt, amely hagyományosan nevezik az algebra alaptétele, igaznak bizonyult a 18. század végén, a nagy német matematikus K.F.Gauss.